Екатерина, выкупить через суд Вашу половину против Вашей воли мама не сможет: без согласия собственника суд может обязать выплатить ему компенсацию вместо доли, только если доля незначительна, ее нельзя выделить и у собственника нет существенного интереса в ней (п. 4 ст. 252 ГК РФ), а при равных половинах это не Ваш случай. И ее предложение съехать остается только предложением: как пользоваться общей квартирой, сособственники решают соглашением, а если не договорились, порядок пользования определяет суд (п. 1 ст. 247 ГК РФ)
Реальные ее шаги другие. Если мама не может пользоваться частью квартиры по своей доле, она вправе требовать компенсацию от того, кто пользуется ее долей (п. 2 ст. 247 ГК РФ), и тогда спор пойдет о деньгах, а суд учтет, могла ли она реально жить в квартире. Продать свою половину постороннему она может только после письменного предложения Вам с ценой и условиями, на ответ у Вас месяц, а если продаст без такого предложения, Вы в течение трех месяцев вправе через суд требовать перевода на себя прав покупателя (ст. 250 ГК РФ). Но это правило касается продажи и мены, а подарить свою долю она может кому угодно, не спрашивая Вас, и тогда вторым собственником станет чужой человек
Квартиру покупал отец в браке с мамой, поэтому важно, как к Вам перешла Ваша половина: от этого зависит, может ли кто-то спорить и с Вашей долей
Напишите в чат на сайте, как Вы получили свою половину и живет ли мама сейчас в квартире, скажу, грозят ли Вам требования о деньгах и можно ли защититься от появления постороннего собственника