Татьяна, план верен наполовину: чтобы выписка показывала Вас собственником, ранее возникшее право действительно нужно зарегистрировать, но дубликат на нотариальном бланке выдает не БТИ. Его выдает нотариус, в делах которого хранится экземпляр договора, а если нотариус уже не работает, то нотариальная палата из своего архива, и ее копия приравнивается к дубликату (ст. 52 Основ законодательства о нотариате). Просить вправе тот, от чьего имени заключали договор, его представитель или правопреемник, то есть и Вы как покупатель. Договор один на Вас и отца, поэтому тот же дубликат пригодится и для его половины
Проще будет, если Вы собираетесь продать или подарить долю. Право по договору, оформленному по правилам 1995 года, действительно и без записи в ЕГРН (ч. 1 ст. 69 Федерального закона № 218-ФЗ), а регистрацию тогда проводят вместе со сделкой, и заявление вправе подать нотариус, который ее удостоверяет (ч. 3 ст. 69 того же закона). Документ, на котором держится Ваше право, понадобится и в этом случае, так что вопрос с договором все равно придется решить
Где его взять, решает удостоверительная надпись нотариуса в конце Вашей копии. Если ее нет, договор в 1995 году могли оформить без нотариуса, тогда дубликата у нотариуса не будет, а путь к записи в ЕГРН зависит от того, что сохранилось в архиве по Вашей квартире. Запрос не туда обернется лишним ожиданием ответа и отказом в МФЦ еще раз. Напишите в чат на сайте, есть ли на Вашей копии такая надпись, разберем Ваш путь по ней