Штраф за царапину на каршеринге: грозит ли лишение прав за скрытие с места ДТП?

Нет, лишить прав вас не могут. Хотя контакт с мусорным контейнером формально является ДТП по п. 1.2 ПДД, для привлечения по ч. 2 ст. 12.27 КоАП РФ (оставление места ДТП) требуется доказать умысел на скрытие. Вы сами сообщили компании о повреждении — это исключает умышленную форму вины и состав правонарушения.

Угроза каршеринга — обычное давление для взыскания штрафа. Оплатить ущерб вы обязаны по договору аренды (это гражданско-правовые отношения), но к лишению прав это не имеет отношения. 
 

Зеркало задели об мусорку - это по п.1.2 ПДД РФ

"Дорожно-транспортное происшествие" - событие, возникшее в процессе движения по дороге транспортного средства и с его участием, при котором погибли или ранены люди, повреждены транспортные средства, сооружения, грузы либо причинен иной материальный ущерб.

Если вы покинули место ДТП, то это согласно ст. 12.27 КоАП РФ  лишение прав на период от 1 до 1,5 лет или арест до 15 суток