Здравствуйте, Азат!
Ситуация у вас, конечно, неприятная, но постараемся сориентироваться.
Уволить по статье за превышение должностных полномочий могут только в строго определённых случаях, которые прямо предусмотрены Трудовым кодексом РФ, а если речь идёт о понятии «превышение полномочий» в уголовно-правовом смысле — то это уже совершенно другой уровень, и в трудовых отношениях речь чаще идёт о нарушении трудовой дисциплины, а не о превышении полномочий.
Если вы действительно без разрешения работодателя вышли на смену и взяли на себя обязанности, которые вам не поручались, то формально работодатель может попытаться расценить это как дисциплинарный проступок (например, самовольное выполнение работы или нарушение техники безопасности, если это имело последствия). Однако для увольнения по статье (например, по пп. "а" п.6 ч.1 ст.81 ТК РФ — однократное грубое нарушение трудовых обязанностей) нужно документальное подтверждение вины: акты, объяснения, соблюдение порядка привлечения к дисциплинарной ответственности. Простого утверждения недостаточно.
Если же никаких негативных последствий от ваших действий не наступило, и никто не пострадал, то увольнение по статье будет чрезмерной мерой, и его можно будет успешно обжаловать в суде. Ваша инициатива, пусть и ошибочная, может быть интерпретирована как добросовестное заблуждение, особенно если вы не были ознакомлены с должностной инструкцией в должной форме.
Что касается давления с требованием написать заявление "по собственному", то никто не вправе вас заставить это делать — это добровольное волеизъявление, и принуждение к этому незаконно. Более того, если штат действительно сокращается, то у вас есть право на компенсации, и это для работодателя дороже, чем ваше «добровольное» увольнение. Потому часто и прибегают к давлению.
Если чувствуете давление — сохраняйте переписку, аудиозаписи разговоров (в одностороннем порядке записывать не запрещено) и ничего не подписывайте сгоряча. Увольнение по статье — это крайняя мера, и её оспорить возможно, особенно если у вас положительная характеристика, нет взысканий и вы действовали не из корыстных побуждений.
С наилучшими пожеланиями,
Хабас Феликсович.