Валерия, заставить Вас выписаться бабушка не может, а право остаться зависит от того, на каком праве у нее квартира и с какого времени Вы там зарегистрированы. Сама регистрация прав на жилье не дает и не отнимает (ст. 3 Закона РФ «О праве граждан РФ на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах РФ»), а снять человека с учета против его воли можно только по решению суда о признании его утратившим право пользования (ст. 7 того же закона)
Если квартира в собственности бабушки, право пользования есть у членов ее семьи, проживающих вместе с ней (ч. 1, 2 ст. 31 ЖК РФ). Бывшему члену семьи суд может сохранить право на срок, если другого жилья у него нет (ч. 4 ст. 31 ЖК РФ), поэтому полученная от государства квартира здесь будет играть против Вас. Но если квартиру приватизировали, когда у Вас уже было равное с бабушкой право пользования, а Вы в приватизации не участвовали, это право может сохраниться (ст. 19 Закона о введении в действие ЖК РФ); регистрация, появившаяся после приватизации, такого права не дает. Если же квартира муниципальная, по соцнайму, договор считается расторгнутым с выездом в другое место жительства (ч. 3 ст. 83 ЖК РФ). Но жизнь ребенка в приемной семье добровольным выездом обычно не считается, и в Вашу пользу то, что постоянная регистрация все это время оставалась у бабушки, а у приемной семьи была только временная. Отдельно проверьте, не закрепляли ли органы опеки это жилье за Вами, пока Вы были в приемной семье
Право на эту квартиру решается не регистрацией, а тем, на каком основании владеет бабушка и что было на момент Вашей прописки. Выпишетесь сами, не выяснив этого, и вернуть право пользования будет значительно сложнее, часто только через суд. Напишите в чат на сайте, квартира у бабушки в собственности или по договору соцнайма, и разберем, как защитить Ваше право