Алексей, завещание здесь не помогает: пока мама жива, квартира принадлежит ей, и распоряжаться ей можно только как ее опекун после признания недееспособной.
Продать квартиру подопечного закон в принципе разрешает, но только в исключительных случаях, если этого требуют интересы самого подопечного, и закон прямо называет пример: необходимость оплаты дорогостоящего лечения (п. 5 ч. 1 ст. 20 Закона об опеке и попечительстве). Оплата сиделки и лекарств при деменции может под это подойти, но доказывать придется органу опеки.
Без предварительного разрешения органа опеки такую сделку заключить нельзя (ч. 2 ст. 20 того же закона). А деньги от продажи остаются деньгами мамы: опекун тратит доходы подопечного только в его интересах и с предварительного разрешения органа опеки (п. 1 ст. 37 ГК РФ).
Важный момент: это единственное жилье мамы. Органу опеки нужно будет показать, где и в каких условиях она будет жить после продажи, без этого получить разрешение будет трудно.
Есть и другой путь, который закон тоже допускает: договор ренты к выгоде подопечного (п. 2 ч. 1 ст. 20 того же закона). Квартира переходит плательщику ренты, а мама получает выплаты или содержание по условиям договора.
Напишите, оформлена ли уже недееспособность и кто опекун, и есть ли вариант, где мама будет жить после продажи: подскажу, какой путь реальнее пройдет через опеку. Контакты для связи есть в моем профиле.