Здравствуйте, Ася!
Да, гражданин Армении может снова выехать и въехать в Россию, так как для граждан ЕАЭС действует безвизовый режим, и они могут находиться в РФ до 90 дней без регистрации. Однако, повторный въезд не всегда гарантирует автоматическое продление срока пребывания. Важно учитывать, что миграционные органы могут усмотреть частые пересечения границы как попытку обойти правила.
Что касается продления пребывания на год, для этого действительно нужен трудовой договор. Если до 16 марта он не успеет его оформить, можно попробовать снова въехать в РФ с оформленной медицинской страховкой (зеленой картой) и уже в этот новый период заключить трудовой договор, после чего подать документы на продление регистрации на год.
Главное – соблюдать сроки и не допустить нелегального пребывания. Если же все-таки есть риск не уложиться в сроки, лучше не дожидаться 16 марта, а заранее покинуть Россию, чтобы избежать проблем при дальнейшем въезде.
С наилучшими пожеланиями, Хабас Феликсович.