Устроилась на работу в государственную школу педагогом психологом проработала в школе

Здравствуйте, устроилась на работу в государственную школу педагогом-психологом, проработала в школе 2 дня, без трудового договора, сегодня я сказала о намерении уволиться. После того как я сказала что хочу уволиться, мне через несколько часов принесли трудовой договор и заставили в нём расписаться задним числом (что меня устроили 1 и я подписала договор 1 числа) и я написала заявление на увольнение. Мне сказали, что так как это гос учреждение, по соглашению двух сторон уволиться нельзя, и я должна отрабатывать две недели. Я не хочу отрабатывать две недели, мне некомфортно тут находиться, заставили договор ещё подписать. Если уйти на больничный на две недели, придётся ли потом отрабатывать? Или можно ли взять за свой счёт отпуск на две недели в день увольнения?