Егор, здравствуйте, вашей подруге нужно в судебном порядке требовать определения места проживания ребенка с ней . Но для суда не важны слова, а только лишь доказательства. Пока из вашего рассказа следует , что ребенку лучше с отцом – у матери нет жилья, и работы судя по всему тоже, имеется некрасивый факт оставления ребенка, а органы опеки для суда будут делать обследование бытовых условий и проверят не только наличие игрушек и места для сна ребенка,но и содержимое холодильника на предмет наличия молочки и сезонных фруктов, есть ли поблизости детская поликлиника и детский сад и т.д. Для ребенка должны быть созданы все условия и пока ваша подруга вряд ли что-то сможет противопоставить бывшему мужу.