Здравствуйте, Камила!
Очень сожалею о произошедшем, такие ситуации действительно неприятны, особенно когда дело касается личных вещей.
Если куртка была оставлена вами в специально отведённом месте (например, на вешалке при входе), и доступ к ней имели третьи лица, речь может идти о заключении так называемого публичного договора хранения по статье 924 Гражданского кодекса РФ. Даже если гардероб был без номерков и бесплатным, заведение несёт ответственность за сохранность вещей, если оно организовало место для их хранения.
Ваши действия сейчас должны быть следующими. Во-первых, стоит зафиксировать факт пропажи письменно, обратившись в администрацию заведения с претензией. Претензию составьте в двух экземплярах: один вручите, а на втором попросите поставить отметку о получении (дата, ФИО, подпись). В ней укажите обстоятельства дела, стоимость куртки (приложите копию чека), и потребуйте компенсацию ущерба, ссылаясь на ст. 15 и 393 ГК РФ, а также на нормы о публичном договоре.
Во-вторых, если администрация откажется добровольно компенсировать ущерб, вы вправе обратиться в суд с иском о взыскании стоимости утраченной вещи. Для этого можно использовать материалы переписки, копию чека, вашу письменную претензию, а также видеозаписи (если их всё же предоставят). Также имеет значение наличие свидетелей, если кто-то видел, что вы вешали куртку.
Подчеркну: юридически ваша позиция будет сильнее, если в заведении официально оборудовано место для хранения верхней одежды.
Желаю вам справедливого разрешения ситуации. Если потребуется, помогу составить текст претензии.
С наилучшими пожеланиями, Хабас Феликсович.