Могу ли я купить квартиру у матери и выделить там долю

Да, вы можете купить квартиру у своей матери и выделить долю в ней своему ребенку. Несмотря на то, что у вас разные фамилии, родственные отношения между вами подтверждаются свидетельством о рождении, где будет указано, что вы являетесь матерью данного ребенка. 

При покупке квартиры вам необходимо будет заключить договор купли-продажи и зарегистрировать его в Федеральной службе государственной регистрации, кадастра и картографии (Росреестре). В договоре следует указать всех участников сделки и их доли в праве собственности на квартиру.