Здравствуйте. Если в актовой записи о рождении имя указано с ошибкой без мягкого знака, ЗАГС обязан это исправить. Для этого нужно подать письменное заявление в ЗАГС по месту хранения записи. К заявлению приложите свидетельство о рождении, которое нужно обменять, и документы, подтверждающие правильное написание имени. После исправления вам выдадут новое свидетельство.
Если ЗАГС откажет или возникнет спор, вопрос решается через суд.
Важный момент: если в самом свидетельстве о рождении исправление уже есть, а в актовой записи нет, это прямое основание привести запись в соответствие. То есть нужно именно исправление, а не изменение.
Обратитесь в ЗАГС с заявлением о внесении исправления в актовую запись.