Увольнение директора школы по срочному ТД: законность и основания, компенсации, задним числом

Я работала в должности директора школы в течение 5 лет. Каждый год со мной заключали новый срочный ТД. Часто это делалось задним числом, так как работники комитета по образованию забывали делать это вовремя. Приказы о приеме на работу и об увольнении я видела только единожды: когда устраивалась на работу в 2021 году и когда уволили в 2026. Основание для увольнения: истечение срока очередного трудового договора. В электронной трудовой книжке при этом нет информации о том, что меня увольняли и принимали заново на работу каждый год, то есть сведения в СФР о моих увольнениях и приемах не передавались. Последний договор мне дали на подпись в конце срока его действия, но дата договора была указана верно. Я подписала его, так как считала, что это простая формальность, а через 2 месяца меня уволили, не объясняя причин. Является ли увольнение законным? Могу ли я требовать, чтобы увольнение было исполнено по другому основанию (инициатива работодателя с выплатой компенсации), так как восстанавливаться на работе в данной должности не хочу?