Здравствуйте! Можете взыскать стоимость переезда (такси, грузчики), расходы на поиск нового жилья (комиссия риелтора) и разницу в цене аренды, если новая комната стоит дороже (ст. 393.1 ГК РФ).
Обеспечительный платеж (депозит) подлежит возврату в полном объеме, а если в договоре есть пункт о штрафе за досрочное расторжение по инициативе наймодателя, то и сумму штрафа.
Моральный вред взыскать сложно, так как суды редко удовлетворяют его в имущественных спорах между физлицами (это не Закон о защите прав потребителей), но попробовать можно, если предоставите справки от врача об ухудшении здоровья на фоне стресса.