Здравствуйте!
Законные представители действуют без доверенности.
Кроме того, сейчас подача документов через Госуслуги возможна.
А после 9 класса сам ребёнок может подавать заявление согласно ст. 34 ФЗ 273
Статья 34. Основные права обучающихся и меры их социальной поддержки и стимулирования
1. Обучающимся предоставляются академические права на:
1) выбор организации, осуществляющей образовательную деятельность, формы получения образования и формы обучения после получения основного общего образования или после достижения восемнадцати лет;
Что касается подачи документов по доверенности нотариальной лиц, не являющимися законными представителями, то уточнять необходимо в нотариальной палате может ли быть выдана такая доверенность.
Также доверенность может быть выдана по месту жительства или работы.
ГПК РФ Статья 53. Оформление и подтверждение полномочий представителя
2. Доверенности, выдаваемые гражданами, могут быть удостоверены в нотариальном порядке либо организацией, в которой работает или учится доверитель, товариществом собственников жилья, жилищным, жилищно-строительным или иным специализированным потребительским кооперативом, осуществляющим управление многоквартирным домом, управляющей организацией по месту жительства доверителя, администрацией организации социального обслуживания, в которой находится доверитель……………