Право на отпуск по уходу за ребенком до достижения им возраста 3-х лет имеют не только мать ребенка, но и отец, другие родственники, опекуны, фактически осуществляющие уход за ребенком (ст. 256 ТК РФ).
Если ваш супруг работает по трудовому договору, он действительно вправе уйти в отпуск по уходу за ребенком сразу после родов, независимо от того, был ли у вас открыт больничный лист.
Работодатель не вправе требовать от супруга, чтобы он ушел в отпуск по уходу за ребенком только через 4 месяца после окончания вашего больничного. Это необоснованное ограничение его прав.
Вероятнее всего, работодатель просто ошибочно требует ссылки на ваш больничный, что является неправомерным.