Как доказать родство и исправить фамилию в свидетельстве о рождении бабушки через суд

Здравствуйте! Помогите пожалуйста. Я и моя мама занимаемся составлением генеалогического древа и поиском информации о родственниках/предках. Фамилия моей бабушки до замужества по свидетельству о рождении записана Монглина, также в свидетельстве под фамилией Монглины указаны её отец и мать. Однако бабушка ещё при жизни рассказывала что в свидетельстве её записали неправильно (почему так случилось остается загадкой), якобы на крестного и что на самом деле фамилия семьи - Захаровы. И отец и мать бабушки - Захаровы, однако в свидетельстве фамилия и бабушки и её родителей указана неверно - Монглины, хотя имя и отчество её и родителей верное (свидетельство выдано повторное, в связи с чем в ЗАГСе путаница и никакой отметки нет). Раньше никто не заморачивался, записали как записали, потом когда бабушка вышла замуж - взяла фамилию мужа Скрылёва и всё это ушло в историю. Поднять в архивах паспортные данные по фамилии бабушки до замужества, не удалось, нет данных , все уничтожено за сроком давности, что-то погорело. Моя мама рассказывала, что моя прабабушка Агафия (мать бабушки) когда проживала с ними в доме на закате своей жизни, получала пенсию как Захарова и она видела её паспорт. Обратившись в пенсионный фонд мы получили ответ, что архивные данные уничтожены за сроком давности. Также из-за того что фамилия у бабушки в свидетельстве о рождении записана Монглина, ей даже не выдали свидетельство о смерти матери (моей прабабушки) т.к. она Захарова. Сейчас при обращении в архивы органов ЗАГС и службы МВД при попытке найти информацию о семье Захаровых (даты рождения, смерти, брака), братьях, сестрах и их судьбе возникают сложности, так как невозможно доказать родство, что фамилия бабушки должна быть Захарова а не Монглина. Скорее всего наверное нужно обращаться в суд чтобы доказать родство или фамилию но я если честно не знаю как это сделать. Мы обратились в ЗАГС с запросом найти сведения о Монглиных - родителях бабушки, ЗАГС ответил что сведения не найдены, получается таких людей и не существовало. С определёнными сложностями удалось получить информацию о родном брате моей бабушки - Захаров Пётр, он бывший служащий мвд, в его анкетных данных указаны - его отец, мать, брат и сестра (моя бабушка). Также есть запись из журнала домового из п. Новочунка Чунского района, что моя прабабушка (мать бабушки) Захарова Агафия проживала в семье своей дочери в их доме и записана её фамилия - как Захарова. Вопрос в следующем: 1)Как теперь моей маме доказать родство и что фамилия бабушки должна быть Захарова? Чтобы иметь возможность беспрепятственно осуществлять поиск родственников. 2) И между кем его нужно доказывать: между бабушкой Монглиной Марией и её родным братом Захаровым Петром? 3) Или между бабушкой (дочерью) Монглиной Марией и прабабушкой (её матерью) Захаровой Агафией? 4) Какой это должен быть иск? И сколько он стоит? 5) Если это установка юридического факта, то какой факт нужно установить? И достаточно ли будет этого для генеалогического поиска и обращения в органы загс или архивы. 6) Нужно ли в случае установки юридического факта исправлять актовую запись о рождении бабушки или нет? 7) Нужны ли предварительно какие-то отказы от ЗАГСа или других ведомств для суда или в данном случае это не обязательно? Прошу вашей помощи. Заранее благодарю Вас.