Уважаемый Антон, здравствуйте!
За 0,5 ставки выплата за третий месяц возможна, но только по решению службы занятости.
По ст. 287 ТК РФ “северные” гарантии предоставляются только по основному месту работы.
Поэтому ст. 318 ТК РФ, предусматривающая выплату за третий месяц без решения службы занятости, применяется к вашей основной ставке, а не к внутреннему совместительству.
По совместительству действует ст. 178 ТК РФ - т.е. - выплата за третий месяц допускается в исключительных случаях по решению службы занятости, если вы обратились туда в течение 14 рабочих дней после увольнения и не были трудоустроены в течение двух месяцев.
Таким образом, требование работодателя обоснованно.
Подайте в службу занятости письменное заявление о принятии решения именно по ст. 178 ТК РФ. Письменный отказ можно обжаловать (право имеется)
Всех благ Вам!