Вы знаете, в России действует Паспортный режим и, именно по этой причине, все граждане РФ должны носить с собой паспорт. В Вашем случае для Решения Вашего вопроса, прописка у друга НЕ НУЖНА, так как достаточно простой в письменной форме УВЕДОМИТЬ Правоохранительные органы (МВД) о том, что Вы проживаете у друга в квартире. Пишите уведомление в произвольной, простой письменной форме и, либо сами относите его в отделение МВД по месту жительства Вашего друга, либо направляете его в отделение МВД по метсу жительства Вашего друга Почтой России. И Всё.