Смотрите, для подтверждения неиспользования выходных вторым родителем достаточно справки с места работы (или копии трудовой книжки, если он не работает).
Электронная трудовая книжка (ЭТК) не является обязательной. Требование ЭТК вместо копии бумажной может быть избыточным, если ведётся «бумажная» трудовая книжка.
Если жена официально не работает, копия её трудовой книжки будет вполне достаточным.
Перед выплатами пособий СФР действительно проверяет данные (например, через межведомственный запрос). Если информация о трудовой книжке жены не совпадает, могут возникнуть вопросы, но это не ваша проблема, работодатель должен проверять самостоятельно.
Работодатель имеет право требовать документы для подтверждения льгот, но ежемесячное предоставление оригинала трудовой книжки, это избыточное требование.
Копия (заверенная нотариально или отделом кадров) обычно достаточна.
Если Вы предоставляете неверные данные (например, копия трудовой поддельная), это может привести к ответственности (ст. 327 УК РФ). Но Вы утверждаете, что СФР проверяет, так что если данные верны, проблем не должно быть.
Если права нарушаются работодателем - с жалобой в ГИТ Роструда (ст. 352 ТК РФ).
Если ответ был полезным, отметьте лайком.