В иске на отмену алиментов ответчика указывать следует организацию социального обслуживания населения (детский дом или иной социальный орган), а биологическую мать включить третьим лицом.
Основанием для подачи нового иска является существенное изменение обстоятельств. Именно эти изменения позволят пересмотреть судебное решение.
Статья 392 Гражданского процессуального кодекса РФ позволяет подавать заявления о пересмотре судебных актов по вновь открывшимся обстоятельствам. Эти обстоятельства включают существенные изменения правового статуса ребенка и появление возможности содержать его самостоятельно родителями.
Ваша ситуация идеально подходит под критерий существенного изменения обстоятельств, поскольку ребёнок передан биологической матери и больше не нуждается в содержании органами социальной защиты.