Добрый день, Екатерина
Есть вариант скажем так попроще, но более спорный для мужа (поскольку он, в случае если вы прекратите отношения, не сможете это оспорить). Это просто установить отцовство путем подачи совместного заявления в ЗАГС.
А так лучше конечно через процедуру усыновления. Но тогда надо или ехать за справками, или менять место регистрации мужа на ваш регион, и получать справки уже по месту фактического проживания